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Florian Benedikt Henning

• This thesis is concerned with Gibbs measures and gradient Gibbs measures for height configurations on the regular tree with spatially homogeneous interaction of gradient type and countably infinite local state space. In the first part, we give concrete examples of gradient Gibbs measures, which describe height increments along the oriented edges, for the SOS model. In the second part, we provide a model-independent existence criterion, based on a contraction argument, for spatially homogeneous height-localized Gibbs measures and delocalized gradient Gibbs measures, which can coexist. Finally, the third part shows the existence of delocalized gradient Gibbs measures which are not invariant under the automorphisms of the tree. As a fundamental tool in this thesis we employ Zachary’s (1983) description of Gibbs measures in terms of a recursive system of boundary law equations, from whose height-periodic solutions we construct the delocalized gradient Gibbs measures.
• Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Gibbsmaßen für Höhenkonfigurationen auf regulären Baumgraphen mit räumlich homogener Gradientenwechselwirkung und abzählbar unendlichem lokalem Zustandsraum. Im ersten Teil werden konkrete Beispiele für Gradientengibbsmaße (diese beschreiben Höheninkremente entlang gerichteter Kanten) für das SOS-Modell konstruiert. Im zweiten Teil beweisen wir mit Hilfe eines Kontraktionsargumentes ein modellübergreifendes Existenzkriterium für räumlich homogene höhenlokalisierte Gibbsmaße und delokalisierte Gradientengibbsmaße, wobei diese koexistieren können. Der dritte Teil schließlich beschäftigt sich mit der Existenz solcher delokalisierter Gradientengibbsmaße, welche nicht invariant sind unter den Translationen des Baumes. Wesentliches Hilfsmittel ist jeweils die Beschreibung von Gibbsmaßen durch ein rekursives System von Randverteilungsgleichungen gemäß Zachary (1983), wobei wir die delokalisierten Gradientengibbsmaße aus höhenperiodischen Lösungen gewinnen.