Primitive elements in free algebras and a decomposition by the planar logarithm
- In der vorliegenden Arbeit wird ein Analogon des Theorems von Poincare-Birkhoff-Witt für Operaden \(Mag_{r}\) hergeleitet. Im ersten
Teil der Arbeit werden die Operaden \(Mag_{r}\) eingeführt; diese werden frei durch n-stellige Operationen, 1 < r < n+1, erzeugt. Eine
Vektorraumbasis der n-stelligen Operationen wird durch reduzierte planare Wurzelbäume mit n Blättern gegeben. Ferner werden die freien unitären \(Mag_{r}\)-Algebren \(K(X)_{r}\) über einem Alphabet X in natürlicher Weise mit einer Hopf-Algebra Struktur versehen. Die Komultiplikation und ihr Dual, das planare Shuffle-Produkt, werden beschrieben. Es werden nicht-assoziative nicht-kommutative Exponential- und Logarithmusreihen eingeführt und anschließend Kriterien für die Primitivität von Elementen hergeleitet.
Im zweiten Teil wird gezeigt, dass der Logarithmus der identischen Abbildung bezüglich des Konvolutionsprodukts eine Projektion auf die primitiven Elemente darstellt. Abschließend wird eine orthogonale Familie von Projektionen konstruiert, die die Algebren \(K(X)_{r}\) PBW-artig zerlegt.
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