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Anna Siffert

• The problem of classifying isoparametric hypersurfaces M\(^{n}\) in spheres S\(^{n+1}\) is still not completely solved. In my paper I develop a structural approach towards this classification problem. The basic idea for the structural approach is the following: instead of working with the family of parallel surfaces \(F_{t}\)(M\(^{n}\)), I work with their image under the Gauss map which is a Lagrangian submanifold \(\iota\)(M\(^{n}\)) in the Grassmannian, i.e. in the complex quadric Q\(^{n}\) in CP\(^{n+1}\). The key fact is that all the relevant geometric invariants of \(F_{t}\)(M\(^{n}\)), i.e. the metric \(g_{t}\), the Weingarten map A\(_{t}\), and its covariant derivative, translate into natural geometric invariants of the Lagrangian submanifold \(\iota\)(M\(^{n}\)) in Q\(^{n}\) which are now independent of \(\it t\). Naturally, all the classical approaches to the classification problem can be translated into this more structural picture.
• Die vollständige Klassifikation isoparametrischer Hyperflächen M\(^{n}\) in Sphären S\(^{n+1}\) steht immer noch aus. In meiner Dissertation entwickle ich einen strukturellen Zugang für diese Klassifikation. Die zentrale Idee besteht darin statt der Familie der parallelen Hyperflächen \(F_{t}\)(M\(^{n}\)) das Bild dieser unter der Gaussabbildung zu betrachten. Dieses ist eine Lagrange Untermannigfaltigkeit \(\iota\)(M\(^{n}\)) in der komplexen Quadrik Q\(^{n}\) in CP\(^{n+1}\). Entscheidend ist, dass sich die geometrischen Invarianten von \(F_{t}\)(M\(^{n}\)), d.h. die Metrik \(g_{t}\), die Weingartenabbildung A\(_{t}\) sowie deren kovariante Abbildung, sich in natürliche geometrische Invarianten von \(\iota\)(M\(^{n}\)) übersetzen, die allesamt unabhängig von \(\it t\) sind. Alle klassischen Zugänge übersetzen sich in natürlicher Weise in dieses strukturelle Bild.